带优先权的排队论模型

带 优先权的排队论模型

在优先权排队模型中， 队 中的 成员 被服务的顺序基于他们被赋予的优先级。

相比 一般 的排队模型， 很多 真实存在的排队系统 实际上 更符合带优先权的排队论模型， 比如 紧急工作的招聘 优先于 其他一般的工作； VIP 客户较其他一般客户，在服务上享有优先权等等。 因此 ， 带优先权 的排队论模型 有其 实际意义。

这里 介绍两种最基本的优先权排队模型 —— 非强占性 优先权模型和强占性优先权模型 。两个模型 除 优先权行使方式之外，其他假设均一致。 我们 首先描述 这 两个模型， 之后 分别 给出 其 结论， 最后 通过一个案例来阐述其在实际中的应用。

1.   模型

公共假设 ： 

（1）两个模型都存在N 个 优先级（1 级 代表最高）

 （ 2 ） 服务顺序首先基于优先级， 同一 优先级内， 依据 “先到先服务”

（ 3 ） 对 任意 优先级，顾客到达 服从 Poisson 分布 ，服务时间服从负指

数分布

（ 4 ） 对 任意 优先级顾客的服务时间相同

（ 5 ） 不同优先级顾客的平均到达 率 可以不同

非强占性优先权 （ Nonpreemptive Priorities ） 是 指， 即使 一个高优先级的顾客到达， 也 不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回 排队 。也就是说， 一旦 服务员开始对一个顾客服务， 这项 服务就不能被打断直至服务结束。

强占性 优先权 （ Preemptive Priorities ） 是指， 一旦 有高优先级的顾客到达，服务员即 中断 对低优先级顾客的服务（这名顾客重新回到排队中）， 并 马上开始为高优先级顾客服务。 结束这 项服务后， 再 按照公共假设中的原则选取下一个被服务的顾客。（这里 由于 负指数分布的无记忆性， 我们 不必关注被中断顾客的服务进度， 因为 剩余服务时间的 分布 与 从 起点开始的服务时间的分布总是相同的。）

对 这两个模型来说， 如果忽略 顾客的优先级， 它们 是完全等同于一般的M/M/s 排队模型 的。 因此 ， 当 计算整个队列中顾客的总人数 （L ,  ） 时 ，M/M/s 模型的结论是适用的； 实际上 ， 若 随机选择一个顾客， 其 等待时间（ W ,  ）也 可以 通过Little 公式 计算得出。 我们 改变的 只是 顾客们等待时间的分布。 在 优先权排队模型下， 等待 时间的的方差更大， 高优先级 的顾客缩短了等待时间， 而低优先级 的顾客增长了等待时间。 为 了体现优先权对排队模型的影响， 我们 需要计算每一个优先级上顾客的平均等待时间（, k =1,2,…… N ） 和 平均队 长 （,k=1,2,…… N ）。